Cho p là một số nguyên tố. Tìm tất cả các số nguyên n để \(A=n^4+4n^{p-1}\) là một số chính phương
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
0
VT
0
HP
2
12 tháng 6 2017
Với \(n=0\Rightarrow A=0\)
Với \(n\ne0\)
Xét \(p=2\)thì ta có:
\(A=n^4+4n^3=n^2\left(n^2+4n\right)\)
Vì A là số chính phương nên
\(\Rightarrow n^2+4n=x^2\)
\(\Leftrightarrow\left(n+2\right)^2-x^2=4\)
\(\Leftrightarrow\left(n+2+x\right)\left(n+2-x\right)=4\)
\(\Leftrightarrow\left(n+2+x,n+2-x\right)=\left(1,4;4,1;2,2;-1,-4;-4,-1;-2-2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(n,x\right)=\left(-4,0\right)\)
Xét \(p\ge3\) thì ta có \(p+1=2k+4\left(k\ge0\right)\)
\(A=n^4+4n^{2k+4}=n^4\left(1+4n^{2k}\right)\)
Vì A là số chính phương nên
\(\Rightarrow1+n^{2k}=y^2\)
\(\Leftrightarrow\left(y-n^k\right)\left(y+n^k\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\left(y-n^k;y+n^k\right)=\left(1,1;-1,-1\right)\)
Không có giá trị \(n\ne0\)thỏa mãn cái trên
Vậy ......
NV
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
9 tháng 9 2023
Lời giải:
Đặt tổng trên là $A$.
Với $n=1$ thì $2^n+3^n+4^n=9$ là scp (thỏa mãn)
Xét $n\geq 2$. Khi đó:
$2^n\equiv 0\pmod 4; 4^n\equiv 0\pmod 4$
$\Rightarrow A=2^n+3^n+4^n\equiv 3^n\equiv (-1)^n\pmod 4$
Vì 1 scp khi chia 4 chỉ có thể có dư là $0$ hoặc $1$ nên $n$ phải là số chẵn.
Đặt $n=2k$ với $k$ nguyên dương.
Khi đó: $A=2^{2k}+3^{2k}+4^{2k}\equiv (-1)^{2k}+0+1^{2k}\equiv 2\pmod 3$
Một scp khi chia 3 chỉ có thể có dư là 0 hoặc 1 nên việc chia 3 dư 2 như trên là vô lý
Vậy TH $n\geq 2$ không thỏa mãn. Tức là chỉ có 1 giá trị $n=1$ thỏa mãn.
NN
22 tháng 1
a, Để \(\dfrac{n+1}{n-2}\) có giá trị là một số nguyên thì n + 1 ⋮ n - 2
=> (n - 2) + 3 ⋮ n - 2
Vì (n - 2) ⋮ n - 2 nên 3 ⋮ n - 2
=> n - 2 ∈ Ư(3) ∈ {-3;-1;1;3}
=> n ∈ {-1;1;3;5}
b, Để \(\dfrac{4n+5}{2n-1}\) có giá trị là một số nguyên thì 4n + 5 ⋮ 2n - 1
=> (4n - 2) + 7 ⋮ 2n - 1
=> 2(2n - 1) + 7 ⋮ 2n - 1
Vì 2(2n - 1) ⋮ 2n -1 nên 7 ⋮ 2n - 1
=> 2n - 1 ∈ Ư(7) ∈ {-7;-1;1;7}
=> n ∈ {-3;0;1;4}
NV
1
